а) Довжина ребра AB обчислюється за формулою відстані між двома точками в тривимірному просторі:

AB = (x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​

де (x₁, y₁, z₁) та (x₂, y₂, z₂) - це координати точок A та B відповідно. Підставляючи координати точок A(9,5,5) та B(-3,7,1), отримуємо:

AB = (−3−9)2+(7−5)2+(1−5)2​=144+4+16​=164​

б) Кут між ребрами AB і AD обчислюється за допомогою формули косинуса кута між двома векторами:

cos(θ) = ∣∣AB∣∣∣∣AD∣∣AB⋅AD​

де θ - це кут між ребрами AB і AD, ||vec{AB}|| та ||vec{AD}|| - це довжини ребер AB і AD відповідно, а vec{AB} cdot vec{AD} - це скалярний добуток векторів AB і AD.

в) Рівняння грані ABC можна знайти за допомогою векторного добутку векторів AB і AC. Векторний добуток дасть нам нормаль до площини ABC, а потім ми можемо використати цю нормаль та координати однієї з вершин (наприклад, A), щоб отримати рівняння площини.

г) Кут між ребром AB та гранню ABC можна знайти за допомогою формули косинуса кута між вектором і площиною. Ця формула подібна до формули для кута між двома векторами, але замість скалярного добутку використовується проекція вектора на нормаль до площини.

д) Рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань ABC, можна знайти за допомогою формули для лінії, що проходить через точку і паралельна даному вектору. У цьому випадку точка - це вершина D, а вектор - це нормаль до площини ABC.

e) Об’єм піраміди можна обчислити за допомогою формули:

V = 61​∣(AB×AC)⋅AD∣

де V - це об’єм піраміди, vec{AB}, vec{AC}, та vec{AD} - це вектори ребер піраміди, що ведуть від однієї вершини (A) до трьох інших вершин (B, C та D), “×” означає векторний добуток, “·” означає скалярний добуток, а “|” означає модуль вектора.