Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 21: b₁+b₂+b₃=21, а сумма квадратов трёх первых членов равна 189: b₁²+b₂²+b₃²=189. Нужно использовать формулу n-ного члена геометрической прогрессии: таким образом можно уменьшить количество неизвестных, чтобы впоследствии составить систему уравнений.
В случае с суммой это: b₁(1-q³)/(1-q)=21, а в случае с произведением это b₁²+b₁²q²+b₁²q⁴=189. Из этих двух уравнений составляем систему и решаем ее:
b₁(1-q³)/(1-q)=21,
b₁²+b₁²q²+b₁²q⁴=189;
b₁(1+q+q²)=21,
b₁²(1 +q²+q⁴)=189.
Разложим выражение 1+q²+q⁴ на (1-q+q²)(1+q+q²).
Можно поделить второе уравнение на первое:
(b₁²(1+q²+q⁴))/(b₁(1+q+q²))=189/21;
(b₁²(1-q+q²)(1+q+q²))/(b₁(1+q+q²))=189/21;
b₁(1-q+q²)=9.
Теперь составим систему из b₁(1+q+q²)=21 и b₁(1-q+q²)=9.
Из первого уравнения выразим b₁, и подставим во второе:
b₁=21/(1+q+q²) подставим во второе: 21×(1-q+q²)/(1+q+q²)=9.
Теперь решим это уравнение:
21-21q+21q²-9-9q-9q²=0;
12q²-30q+12=0;
2q²-5q+2=0;
D=25-4×2×2=25-16=9=3²;
q₁=(5-3)÷4=0,5;
q₂=(5+3)÷4=2.
Знаменатели найдены, осталось найти только первые члены. Если q=0,5, то b₁=21/(1+0,5+(0,5)²)=12; а если q=2, то b₁=21/(1+2+2²)=3.
Ответ: b₁=12, q=0,5 или b₁=3, q=2.
Решение во вложении.